Question

对函数y=f（x）（x₁≤x≤x₂），设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是图象上的两端点，O为坐标原点，且点N满足=+（1﹣λ），λ≥0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx₁+（1﹣λ）x₂，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x²﹣2x﹣1在区间[﹣1，3]上的“高度”为　．

Answer 1

考点：

二次函数的性质；平面向量的基本定理及其意义．

专题：

新定义；函数的性质及应用．

分析：

利用向量共线即可得出点N的坐标及λ的取值范围、利用两点间的距离公式即可得出|MN|、再二次函数的单调性即可得出．

解答：

解：由函数f（x）=x²﹣2x﹣1及区间[﹣1，3]可得区间端点A（﹣1，2），B（3，2）．

∴=（3﹣4λ，2），∴N（3﹣4λ，2）；

∵点N满足=+（1﹣λ），λ≥0，∴0≤λ≤1．

∴x_M=3﹣4λ，y_M=（3﹣4λ）²﹣2（3﹣4λ）﹣1=16λ²﹣16λ+2，

∴|MN|==|16λ²﹣16λ|=，

∵λ∈[0，1]，∴，，

∴|MN|≤4．

∴函数f（x）=x²﹣2x﹣1在区间[﹣1，3]上的“高度”为4．

故答案为4．

点评：

正确理解新定义、向量共线、二次函数的单调性是解题的关键．