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我们给出如下定义:对函数y=f(x),x∈D,若存在常数C(C∈R),对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,则称函数f(x)为“和谐函数”,称常数C为函数f(x)的“和谐数”.
(1)判断函数f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否为“和谐函数”?答:
 
.(填“是”或“否”)如果是,写出它的一个“和谐数”:
 
.(4分)
(2)证明:函数g(x)=lgx,x∈[10,100]为“和谐函数”,
3
2
是其“和谐数”;
(3)判断函数u(x)=x2,x∈R是否为和谐函数,并作出证明.
分析:(1)根据题目対“和谐函数”的定义,对任意x1∈[-1,3],令
f(x1)+f(x2)
2
=2
,得x2=2-x1,而x2∈[-1,3],即对任意的x1∈[-1,3],存在唯一的x2=2-x1∈[-1,3],使得
f(x1)+f(x2)
2
=2
,即可得正确结果
(2)参照上述证明过程,对任意x1∈(1,3),令
2x1+2x2
2
=5
,得2x2=10-2x1x2=log2(10-2x1)∈(1,3),即可证明函数h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”
(3)分c<0和c≥0两种情况讨论,对任意的x1∈R,不存在唯一的x2∈R,使
x12+x22
2
=C
成立,所以函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”
解答:解:(1)∵对任意x1∈[-1,3],令
f(x1)+f(x2)
2
=2
,得x2=2-x1,∴x2∈[-1,3],即对任意的x1∈[-1,3],存在唯一的x2=2-x1∈[-1,3],使得
f(x1)+f(x2)
2
=2

故正确答案为  是;  2
(2)证明:①对任意x1∈[10,100],令
g(x1)+g(x2)
2
=
3
2
,即
lgx1+lgx2
2
=
3
2

x2=
1000
x1
.∵x1∈[10,100],∴x2=
1000
x1
∈[10,100]

即对任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
1000
x1
∈[10,100]
,使得
g(x)+g(x2)
2
=
3
2

∴g(x)=lgx为“和谐函数”,其“和谐数”为
3
2

参照上述证明过程证明:函数h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数”;
②对任意x1∈(1,3),令
h(x1)+h(x2)
2
=5
,即
2x1+2x2
2
=5
,得2x2=10-2x1x2=log2(10-2x1).∵x1∈(1,3),∴10-2x1∈(2,8)x2=log2(10-2x1)∈(1,3)
即对任意x1∈(1,3),存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1,3),使得
h(x1)+h(x2)
2
=5

∴h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数”
(3)解:函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”,证明如下:
对任意的常数C,①若C≤0,则对于x1=1,显然不存在x2∈R,使得
x12+x22
2
=
1+x22
2
=C
成立,
所以C(C≤0)不是函数u(x)=x2,x∈R的和谐数;
②若C>0,则对于x1=
4C
,由
x12+x22
2
=
4C+x22
2
=C
得,x22=-2C<0,
即不存在x2∈R,使
x12+x22
2
=C
成立.所以C(C>0)也不是函数u(x)=x2,x∈R的和谐数.
综上所述,函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”.
点评:本题是新定义型函数应用题,综合考查了阅读理解能力,及函数定义域值域的求法等,难度较大,需要扎实的函数基本功,和逻辑基本功
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

我们给出如下定义:对函数y=f(x),x∈D,若存在常数C(C∈R),对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,则称函数f(x)为“和谐函数”,称常数C为函数f(x)的“和谐数”.
(1)判断函数f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否为“和谐函数”?答:
.(填“是”或“否”)如果是,写出它的一个“和谐数”:
2
2

(2)请先学习下面的证明方法:
证明:函数g(x)=lgx,x∈[10,100]为“和谐函数”,
3
2
是其“和谐数”.
证明过程如下:对任意x1∈[10,100],令
g(x1)+g(x2)
2
=
3
2
,即
lgx1+lgx2
2
=
3
2

x2=
1000
x1
.∵x1∈[10,100],∴x2=
1000
x1
∈[10,100]
.即对任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
1000
x1
∈[10,100]
,使得
g(x)+g(x2)
2
=
3
2
.∴g(x)=lgx为“和谐函数”,
3
2
是其“和谐数”.
参照上述证明过程证明:函数h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”;
(3)写出一个不是“和谐函数”的函数,并作出证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•上海一模)在统计学中,我们学习过方差的概念,其计算公式为
σ
2
 
=
1
N
[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2]
,并且知道,其中μ=
1
N
(x1+x2+…+xn)
为x1、x2、…、xn的平均值.
类似地,现定义“绝对差”的概念如下:设有n个实数x1、x2、…、xn,称函数g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|为此n个实数的绝对差.
(1)设有函数g(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|,试问当x为何值时,函数g(x)取到最小值,并求最小值;
(2)设有函数g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-x2|,(x∈R,x1<x2<…<xn∈R),
试问:当x为何值时,函数g(x)取到最小值,并求最小值;
(3)若对各项绝对值前的系数进行变化,试求函数f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)的最值;
(4)受(3)的启发,试对(2)作一个推广,给出“加权绝对差”的定义,并讨论该函数的最值(写出结果即可).

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科目:高中数学 来源:2008-2009学年高三数学模拟试题分类汇编:函数 题型:044

在统计学中,我们学习过方差的概念,其计算公式为

并且知道,其中为x1、x2、…、xn的平均值.

类似地,现定义“绝对差”的概念如下:设有n个实数x1、x2、…、xn,称函数g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|为此n个实数的绝对差.

(1)设有函数g(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|,试问当x为何值时,函数g(x)取到最小值,并求最小值;

(2)设有函数g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x+x2|,(x∈R,x1<x2<…<xn∈R),

试问:当x为何值时,函数g(x)取到最小值,并求最小值;

(3)若对各项绝对值前的系数进行变化,试求函数f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)的最值;

(4)受(3)的启发,试对(2)作一个推广,给出“加权绝对差”的定义,并讨论该函数的最值(写出结果即可).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

我们给出如下定义:对函数y=f(x),x∈D,若存在常数C(C∈R),对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,则称函数f(x)为“和谐函数”,称常数C为函数f(x)的“和谐数”.
(1)判断函数f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否为“和谐函数”?答:______.(填“是”或“否”)如果是,写出它的一个“和谐数”:______.(4分)
(2)证明:函数g(x)=lgx,x∈[10,100]为“和谐函数”,
3
2
是其“和谐数”;
(3)判断函数u(x)=x2,x∈R是否为和谐函数,并作出证明.

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