Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）其中f（x）=x²-4x+2，数列{a_n}前n项和存在最小值．
（1）求通项公式a_n；
（2）若b_n=

1

f(an+5)+1

，c_n=

1

2

（

1

(2n-2)3

-

1

(2n)3

），（n≥3，n∈N₊）求证：b_n＞c_n．

Answer 1

分析：（1）a₁=f（x+1）=x²-2x-1，a₂=f（x-1）=x²-6x+7由{a_n}为等差数列，能够求出通项公式a_n．
（2）由a_n=2n-4，知a_nb_n=

1

f(an+5)+1

=

1

f(2n+1)+1

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)＞0，再由c_n=

1

2

（

1

(2n-2)3

-

1

(2n)3

）＜0，能够证明b_n＞c_n．

解答：（1）解：a₁=f（x+1）=x²-2x-1，
a₂=f（x-1）=x²-6x+7，
由{a_n}为等差数列，
得2a₂=a₁+a₃
∴2x²-8x+6=0，
∴x=1或x=3，
x=1时a₁=-2a₂=0，d=2＞0符合题意，
∴a_n=2n-4x=3时a₁=2a₂=0，d=-2，舍去
∴a_n=2n-4．
（2）证明：由（1）知a_n=2n-4，
从而若b_n=

1

f(an+5)+1

=

1

f(2n+1)+1

=

1

(2n+1)2-4(2n+1)+2+1

=

1

4n2-4n

=

1

4n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)＞0，
c_n=

1

2

（

1

(2n-2)3

-

1

(2n)3

）＜0，
∴b_n＞c_n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要认真审题，注意数列与函数和数列与不等式的综合运用，合理运用等价转化思想解题．