Question

20．设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则有（　　）

• A． $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a²
• B． $\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0
• C． $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\sqrt{2}$a²
• D． $\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=a²

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，代入数量积公式计算．

解答 解：建立如图所示的空间坐标系，则A（a，a，0），B（a，0，0），C（0，0，0），D（0，a，0），A₁（a，a，a），C₁（0，0，a），D₁（0，a，a）．
$\overrightarrow{AB}$=（0，-a，0），$\overrightarrow{A{{\;}_{1}C}_{1}}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，-a，a），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-a，a，a），$\overrightarrow{BC}$=（-a，0，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a²，$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=a²，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a²，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{D{A}_{1}}$=-a²．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立空间坐标系可使计算简单，属于基础题．