Question

8．设函数f（x）=$\frac{2\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{3}）+6{x}^{2}+\sqrt{3}x}{6{x}^{2}+3cosx}$的最大值为M，最小值为N，则（　　）

• A． M-N=4
• B． M+N=4
• C． M-N=2
• D． M+N=2

Answer 1

分析 利用分式函数的性质进行分解，结合奇函数的对称性即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{2\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{3}）+6{x}^{2}+\sqrt{3}x}{6{x}^{2}+3cosx}$=$\frac{2\sqrt{3}（sinx•\frac{1}{2}+cosx•\frac{\sqrt{3}}{2}）+{6x}^{2}+\sqrt{3}x}{{6x}^{2}+3cosx}$
=$\frac{\sqrt{3}sinx+\sqrt{3}x}{{6x}^{2}+3cosx}$+$\frac{3cosx+{6x}^{2}}{{6x}^{2}+3cosx}$═$\frac{\sqrt{3}sinx+\sqrt{3}x}{{6x}^{2}+3cosx}$+1，
令g（x）=$\frac{\sqrt{3}sinx+\sqrt{3}x}{{6x}^{2}+3cosx}$，则f（x）=g（x）+1．
显然，g（x）为奇函数，且g（x）的最大值为M-1，最小值为N-1，
故M-1+N-1=0，∴M+N=2，
故选：D．

点评 本题主要考查函数最值的判断，利用分式函数进行分解，利用奇函数的最值互为相反数，即可得到结论，属于中档题．