Question

已知点（0，1）和（3，0）都在函数f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的反函数的图象上．
（1）求b，c的值；    
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）由已知中中点（0，1）和（3，0）都在函数f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的反函数的图象上，可得（1，0），（0，3）都在函数f(x)=

c+bx-x2

(1≥x≥0)的图象上，代入构造关于b，c的方程组，进而得到b，c的值；    
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的解析式，根据二次函数在闭区间上的最值，我们可以求出函数f（x）的值域（反函数的定义域），反表示后，易求出反函数的解析式，进而得到答案．

解答：解：（1）由题意知（1，0），（0，3）都在函数f(x)=

c+bx-x2

(1≥x≥0)的图象上，
得

c+b-1 =0 c =3

，
解得

b=-8 c=9

（2）由（1）知f(x)=

9-8x-x2

(1≥x≥0)，
其值域为[0，3]
令y=f(x)=

9-8x-x2

，
得x=

25-y2

-4
所以f-1(x)=

25-x2

-4  (0≤x≤3)

点评：本题考查的知识点是待定系数法求函数的解析式，反函数，其中（1）的关键是构造关于b，c的方程组，（2）的关键是根据反函数求示的步骤，由原函数解析式求出反函数的解析式，此时易忽略反函数的定义域为原函数的值域，而仅求出反函数的对应关系．