Question

（本题12分）某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m²，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m²，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？

Answer 1

解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，
则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个．
由题意可得：
　              …………5分

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图，…………8分
在一组平行直线3x＋2y＝t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2，1)，∴最优解为：x＝2，y＝1………10分
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．………12分

分析：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．
解答：
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，
则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个．
由题意可得：
 …（5分）
所用原料的总面积为z=3x+2y，作出可行域如图，…（8分）
在一组平行直线3x+2y=t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点（2，1），∴最优解为：x=2，y=1…（10分）
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．…（12分）
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．