Question

（2009•温州一模）已知△AOB，点P在线段AB上，已知

OP

=m

OA

+4n

OB

，则mn的最大值为

1

16

．

Answer 1

分析：由向量共线定理可得，存在实数λ使得

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），而

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+ λ

AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)
=(1-λ)

OA

+λ

OB

，则可得m，n与λ的关系，结合基本不等式可求mn的最大值

解答：解：由点P在线段AB上可得A，P，B三点共线
由向量共线定理可得，存在实数λ使得

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1）

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+ λ

AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)
=(1-λ)

OA

+λ

OB

∵

OP

=m

OA

+4n

OB

且

OA

，

OB

不共线
∴m=1-λ，4n=λ
∴mn=

1

4

(1-λ)λ≤

1

4

•(

1-λ+λ

2

)2=

1

16

故答案为：

1

16

点评：本题主要考查了向量共线的定理的应用：若A，B，C三点共线，O为AB外一点，则存在实数λ使得

OA

=λ

OB

+(1-λ)

OC

，注意该结论中的系数的特殊关系（λ+（1-λ）=1）