Question

已知函数f(x)=px-

p

x

-2lnx，g(x)=

2e

x

，
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）若p²-p≥0，且至少存在一点x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先函数的导函数，然后求出f'（1）的值即为切线的斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0，然后利用参数分离法求解恒成立问题即可；
（Ⅲ）利用导数研究函数f（x）与g（x）在[1，e]上的单调性，求出最值，只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]成立，求出p的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f(1)=2-2-2ln1=0．f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，…（2分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0…（6分）
即h(x)=px2-2x+p≥0?p≥

2x

x2+1

，故正实数p的取值范围是[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]，…（10分）
①当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=

1

p

在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h(x)＜0，f′(x)=-

2

x

＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
故当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；…（12分）
②当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g(x)min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

，
所以实数p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．