Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最高点D的坐标为（），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调减区间．

Answer 1

解：（1）∵由最高点D（，2）运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点为（，0），所以周期的四分之一即=-=，∴T=π，又T=π，∴ω=2，因为函数经过点D的坐标为（），代入函数解析式得2sin（2×+φ）=2，
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，
∴函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+），当x∈[-，]，2x+∈[-，]
所以2x+=-，即x=-时；函数f（x）有最小值-
2x+=，即x=时；函数f（x）有最大值2
（3）由题意g（x）=f（x-）=2sin[2（x-）+]，
∴g（x）=2sin（2x-）因为正弦函数y=sinx的减区间是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z
所以有2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数g（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
分析：（1）由三角函数解析式可知函数的平衡位置在x轴，所以最高点的纵坐标为A=2，又由于三角函数最高点与相邻的和x轴的交点为周期的四分之一，即=，借此求出周期后可求出ω的值，然后将点（，2）代入函数解析式并结合|φ|＜可求出φ的值．
（2）由题中x的范围可求出（1）中解析式里2x+的范围，然后结合正弦函数y=sinx相应区间上的图象可以确定当2x+=-和2x+=时函数分别有最小值与最大值，并同时解出相应x的取值即可．
（3）由于函数图象左右平移改变的是横坐标，为此将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后应用函数解析式中的自变量x，即y=g（x）=2sin[2（x）+]=2sin（2x-），由于求的是函数g（x）的减区间，故用2x-替换正弦函数的减区间即由2kπ≤2x-≤2kπ+，k∈Z解出x后就是所求的减区间．
点评：本题主要考查了复合角三角函数的解析式，最值以及图象变换和单调区间的求法等问题，属于复合角三角函数的性质的综合性命题．