Question

（08年滨州市质检三理） 如图，已知四棱锥P―ABCD的底面ABCD为等腰三角梯形，AB∥CD，AC⊥BC，AC∩BD=0，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又OB=2，OP=，PD⊥PD.

   （1）求二面角B―PA―D的余弦的绝对值；

   （2）在棱PC上是否存在点M，使PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由。

   （3）在（2）的条件下，求三棱锥C―BMD的体积.

 

Answer 1

解析:解法一：（I）

    ∽

   

    又∵四边形ABCD为等腰梯形

    ∴OC=OD=1，OA=OB=2

    过点D作DE⊥PA于E，连结BE.

    ∵PO⊥面ABCD  ∴PO⊥面ABCD

∵BD⊥AC  ∴BD⊥面PAC. BD⊥PA

∴PA⊥面BDE. PA⊥BE

∴∠BED就是二面角B―PA―D的平面角

在△PAD中，PD=，

在△PAB中，PA=

故二面角B―PA―D的余弦的绝对值为.

   （II）假设在棱PC上存在点M，使PC⊥面BMD.

由（I）知BD⊥PC.所以只需PC⊥OM即可

此时

∴PM=2MC.

∴点M在PC的三等分点（靠近点C）处，可使PC⊥平面BMD.  

   （III） 

法二：顶点P在底面ABCD上的射影恰为O点

∴PO⊥BD，又PB⊥PD  ∴Rt△POD∽Rt△BOP

∴

分别以直线OA、OB、OP为x轴、y轴、z轴

建立直角坐标系，

则A（2，0，0），B（0，2，0，），C（－1，0，0），

D（0，－1，0），P（0，0，）

   （I）

设平面PAB，PAD的法向量分别为则

取

∴二面角B―PA―D的余弦的绝对值是 

   （II）设

，，

若PC⊥平面BMD，则

∴

故点M在棱PC的三等分点（靠近点C）处，使PC⊥平面BMD.