Question

【题目】已知函数f（x）=sinx（2 cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（2 cosx﹣sinx）+1

=2 sinxcosx﹣2sin2x+1

= （2sinxcosx）+（1﹣2sin2x）

= sin2x+cos2x

=2（ sin2x+ cos2x）

=2sin（2x+ ），

∴f（x）的最小正周期T= =π；

（Ⅱ）令z=2x+ ，

则函数y=2sinz在区间[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z上单调递增；

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

令A=[﹣ ， ]，B=[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z，

则A∩B=[﹣ ， ]；

∴当x∈[﹣ ， ]时，f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增，在区间[ ， ]上的单调递减．

【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期T即可；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增，[ ， ]上的单调递减．