Question

15．已知x、y、z均大于0．
①求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥$\frac{4}{x+y}$；
②求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥$\frac{2}{x+y}$+$\frac{2}{y+z}$+$\frac{2}{z+x}$．

Answer 1

分析 ①作差$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，然后通分即可说明$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}≥0$，从而得证；
②通过观察会发现，利用上上面的结论便可证出本问．

解答 证明：①$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y（x+y）+x（x+y）-4xy}{xy（x+y）}$=$\frac{（x-y）^{2}}{xy（x+y）}$；
∵x，y，z均大于0，（x-y）²≥0；
∴$\frac{（x-y）^{2}}{xy（x+y）}≥0$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$；
②由①知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{4}{y+z}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}≥\frac{4}{z+x}$，这三个不等式两边同时相加得：
$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}$．

点评 考查作差证明不等式的方法，完全平方式的运用，能够发现第二问的证明需用第一问的结论．