Question

对a，b∈R，已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，前n项和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N*）；
等比数列{b_n}的首项为b，公比为a．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）对k∈N*，设f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

若存在正整数m使f（m+11）=2f（m）成立，求数列{f（n）}的前10m项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，前n项和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），利用等差数列前n项和公式能求出a和b，由此能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，再分m为正偶数和m为正奇数两种情况进行讨论，求出m，由此能求出{f（n）}的前10m项的和．

解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，
前n项和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），
∴na+

n(n-1)

2

b=

5

2

n2-

1

2

n，
解得a=2，b=5，
∴a_n=2+（n-1）×5=5n-3，
b_n=b•a^n-1=5×2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=5n-3，b_n=5×2^n-1．
∴f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，
（1）当m为正偶数，则m+11是正奇数，
f（m+11）=m+10，f（m）=2m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得m+10=2（2m-1），解得m=4；
（2）若m为正奇数时，则m+11是正偶数，
则f （m+11）=2（m+11）-1=2 m-21，f （m）=m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得2 m-21=2（m-1），
解得19=0，显然不成立，此是m不存在．
故所求m=4．
设{f（n）}的前n项和为S ，
则S_10m=S₄₀=（0+2+4+…+38）+（3+7+11+…+79）
=

20(0+38)

2

+

20(3+79)

2

=1200．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．