Question

已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，其中m、n是常数，当s+t取最小值

4

9

时，m、n对应的点（m，n）是双曲线

x2

4

-

y2

2

=1一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为

x-2y+1=0

．

Answer 1

分析：由题设中所给的条件m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，其中m、n是常数，当s+t取最小值

4

9

时，求出点（m，n）的坐标，由于此点是其所在弦的中点，故可以用点差法求出此弦所在直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程，整理成一般式即可．

解答：解：由已知得s+t=

1

9

(s+t)(

m

s

+

n

t

)=

1

9

(m+n+

mt

s

+

ns

t

)≥

1

9

(m+n+2

mn

)=

1

9

(

m

+

n

)2，由于s+t的最小值是

4

9

，因此

1

9

(

m

+

n

)2=

4

9

，

m

+

n

=2，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则有

x1+x2

2

=

y1+y2

2

=1，即x1+x2=y1+y2=2①．又该两点在双曲线上，则有

x 2 1

4

-

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

-

y 2 2

2

=1，两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0②，把①代入②得

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，即所求直线的斜率是

1

2

，所求直线的方程是y-1=

1

2

(x-1)，即x-2y+1=0．
故答案为x-2y+1=0

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，求解本题的关键有二，一是利用基本不等式与最值的关系求出参数的值，一是利用点差法与中点的性质求出弦所在直线的斜率，点差法是知道中点的情况下常用的表示直线斜率的方法，其特征是有中点出现，做题时要善于运用．