Question

已知m、n、s、t为正数，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9其中m、n是常数，且s+t最小值是

4

9

，满足条件的点（m，n）是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（　　）

A．x-2y+1=0

B．2x-y-1=0

C．2x+y-3=0

D．x+2y-3=0

Answer 1

分析：由题设知（

m

s

+

n

t

）（s+t）=n+m+

mt

s

+

ns

t

≥m+n+2

mt s • ns t

=m+n+2

mn

，满足

mt

s

=

ns

t

时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆

x2

4

+

y2

2

=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得

x12+2y12=4① x22+2y2 2=4②

，①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=

y 1-y2

x1-x2

=-

1

2

，由此能求出此弦所在的直线方程．

解答：解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，
s+t最小值是

4

9

，
∴（

m

s

+

n

t

）（s+t）的最小值为4
∴（

m

s

+

n

t

）（s+t）=n+m+

mt

s

+

ns

t

≥m+n+2

mt s • ns t

=m+n+2

mn

，
满足

mt

s

=

ns

t

时取最小值，
此时最小值为m+n+2

mn

=2+2

mn

=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
设以（1，1）为中点的弦交椭圆

x2

4

+

y2

2

=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得

x12+2y12=4① x22+2y2 2=4②

，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y 1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴此弦所在的直线方程为y-1=-

1

2

(x-1)，
即x+2y-3=0．
故选D．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．