Question

已知3^a=5^b=c，且，设函数．
（1）求c的值；
（2）记g（t）为函数f（x）在闭区间[t，t+1]（r∈R）上的最小值，利用（1）中所求的c值，试写出g（t）的函数表达式，并求出g（t）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中3^a=5^b=c，且，我们易根据换底公式得到=log_c3，=log_c5，进而根据对数的运算性质，构造关于c的方程，解方程求出c的值．
（2）根据（1）中结论，我们将问题转化为一个二次函数在定区间上的最小值问题，分类讨论后，即可得到g（t）的函数表达式，结合二次函数的性质及分段函数最小值的确定方法得到g（t）的最小值．
解答：解：（1）∵3^a=5^b=c，
∴=log_c3，=log_c5
又∵，
∴c=
（2）∵由（1）中c=
∴=x²-4x-4
当t+1＜2，即t＜1时，
g（t）=f（t+1）=t²-2t-7
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，
g（t）=f（2）=-8
当t＞2时，
g（t）=f（t）=t²-4t-4
则g（t）=
g（t）的最小值为-8
点评：本题考查的知识点是换底公式的应用，函数的最值及其几何意义，其中利用换底公式和对数的运算性质，求出c值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．