Question

1．如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，E、F分别是BC，CC₁的中点，
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁
（2）设AB的中点为D，∠CA₁D=45°，求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）根据三棱锥的体积公式进行求解．

解答 证明：（1）因为AE⊥BB₁，AE⊥BC，
所以AE⊥面B₁BCC₁，而AE?面AEF，
所以面AEF⊥面B₁BCC₁（6分）
（2）取AB中点D，连接A₁D，CD，由题知∠CA₁D=45°，
所以${A_1}D=CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=2\sqrt{3}$，
在Rt$△A{A_1}D中，AA{\;}_1=\sqrt{{A_1}{D^2}-A{D^2}}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$（9分）
所以FC=$\sqrt{2}$，故体积V=$\frac{1}{3}{S_{△AEC}}×CF=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（12分）

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理和体积公式是解决本题的关键．