Question

已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求证：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析：根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．

解答：证明：要证（1+m）ⁿ＞（1+n）^m
只要证nln（1+m）＞mln（1+n）
即

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

．
构造函数令f（x）=

ln(1+x)

x

，x∈[2，+∞），
只要证f（x）在[2，+∞]上单调递减，
只要证f′（x）＜0．
∵f′（x）=

[ln(1+x)]′x-x′•ln(1+x)

x2

=

x-ln(1+x)(1+x)

x2(1+x)

．
当x≥2时，x-ln（1+x）^（1+x）＜0，
x²（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]时，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

点评：本题考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法．