Question

已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x²+y²-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．
（1）求（a-4）（b-4）的值；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求△AOM的面积S的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，从而可得

|2b+2a-ab|

a2+b2

=2，再进行化简即可；
（2）设M中点，（x，y），则

x= a 2 y= b 2

，结合（1），化简可得；
（3）将面积表示为S△AOM=

1

2

a•

b

2

=

1

4

(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6，再利用基本不等式求解．

解答：解：（1）直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即

|2b+2a-ab|

a2+b2

=2．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．
（2）设M（x，y），则

x= a 2 y= b 2

，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）
（3）S△AOM=

1

2

a•

b

2

=

1

4

(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2

(a-4)(b-4)

+6=4

2

+6．
当且仅当a=b=4+2

2

时面积取最小值6+4

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆的综合问题，考查中点坐标公式及利用基本不等式求最值．