Question

已知点A（-2，0），B（2，0），直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积是-

1

4

．
（Ⅰ）求点G的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）圆x²+y²=4上有一个动点P，且P在x轴的上方，点C（1，0），直线PA交（Ⅰ）中的轨迹Ω于D，连接PB，CD．设直线PB，CD的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积是-

1

4

，建立方程，化简可求点G的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）求出直线PB，CD的斜率，利用k₁=λk₂，表示出λ，即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设G（x，y），由kAG•kBG=-

1

4

得，

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2），（3分）
化简得动点G的轨迹Ω的方程为

x2

4

+y2=1（x≠±2）．（6分）
（未注明条件“x≠±2”扣1分）
（Ⅱ）设D（x₀，y₀），则
∵动点P在圆x²+y²=4上，
∴k_PB•k_PA=-1，
即k₁•k_AD=-1，
∴k1=-

1

kAD

=-

x0+2

y0

，
又k2=

y0

x0-1

（x₀≠1），（8分）
由k₁=λk₂，得-

x0+2

y0

=λ•

y0

x0-1

，
∴λ=-

(x0+2)(x0-1)

y 2 0

=-

(x0+2)(x0-1)

1 4 (4- x 2 0 )

=4•

x0-1

x0-2

=4(1+

1

x0-2

)，（10分）
由于-2＜x₀＜2且x₀≠1，（11分）
解得λ∈（-∞，0）∪（0，3）．（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查斜率公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．