Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B (0，2

3

)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，

π

2

]．
（1）若

AB

∥

OC

，求tanθ的值；
（2）设点D（1，0），求

AC

 •  

BD

的最大值；
（3）设点E（a，0），a∈R，将

OC

 •  

CE

表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中A（-2，0），B (0，2

3

)，C（2cosθ，sinθ），我们可以计算出向量

AB

，

OC

的坐标，进而由

AB

∥

OC

，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量

AC

，

BD

的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出

AC

 •  

BD

的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及θ∈[0，

π

2

]求出其最大值．
（3）由点E的坐标，我们可以求出向量

OC

，

CE

的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将

OC

 •  

CE

表示成θ的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．

解答：解：（1）由已知，得

AB

=(2，2

3

)，

OC

=(2cosθ，sinθ)，…（2分）
因为

AB

∥

OC

，所以4

3

cosθ=2sinθ，tanθ=2

3

．…（3分）
（2）由已知，

AC

=(2cosθ+2，sinθ)，

BD

=(1，-2

3

)，

AC

 •  

BD

=2cosθ-2

3

sinθ+2=4cos(θ+

π

3

)+2…（5分）
又θ+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，…（6分）
所以，当θ=0时，

AC

 •  

BD

取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知，

CE

=(a-2cosθ，-sinθ)，
所以，

OC

•

CE

=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1，
设t=cosθ，

OC

•

CE

=-3t2+2at-1，t∈[0，1]…（10分）
当

a

3

＜

1

2

，即a＜

3

2

时，f（a）=2a-4，
当

a

3

≥

1

2

，即a≥

3

2

时，f（a）=-1，
所以，f(a)=

2a-4，a＜ 3 2 -1 a≥ 3 2

…（12分）
因为当a＜

3

2

时，f(a)＜f(

3

2

)=-1，当a≥

3

2

时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合题，熟练掌握平面向量平行的充要条件，平面向量数量积的运算公式，是解答本题的关键．