Question

在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α为参数），直线l的参数方程为

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t为参数）
（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；
（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过配方即可得到圆心的参数方程，再消去参数即可得到其普通方程．
（Ⅱ）由于直线上的一点P（0，1）也是圆M的圆心的轨迹椭圆

x2

4

+y2=1的短轴的上顶点，据参数方程再设此椭圆上的任意一点的坐标（2cosα，sinα），
根据两点间的距离公式即可得到弦长|PQ|是关于sinα的二次函数，利用其单调性即可求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵圆M的方程为x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α为参数），
配方得（x-2cosα）²+（y-sinα）²=1，
∴圆M的圆心（x，y）的轨迹C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），
变为

x

2

=cosα，y=sinα，
将上两式分别平方相加得

x2

4

+y2=1，
∴圆心（x，y）的轨迹C为：焦点在x轴上，长半轴长是2，短半轴长是1的椭圆．
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t为参数），
令t=0，则x=0，y=1，∴（0，1）在直线l上，并且是圆M的圆心的轨迹椭圆

x2

4

+y2=1的短轴的上顶点，
设点P（2cosα，sinα）是直线l与椭圆相交的另一个交点，
则弦长|PQ|的平方|PQ|²=（2cosα-0）²+（sinα-1）²=-3sin²α-2sinα+5
=-3(sinα+

1

3

)2+

16

3

，
∵-1≤sinα≤1，∴当sinα=-

1

3

时，上式的最大值为

16

3

．
即弦长|PQ|的最大值为

4 3

3

．

点评：本题考查了曲线的参数方程化为普通方程及其参数的意义，正确利用二次函数的单调性求最值和理解参数得意义是解题的关键．