Question

（2012•朝阳区二模）在平面直角坐标系x0y中，已知点A（-

2

，0），B（

2

，0），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-

1

2

．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（-

2

，0），B（

2

，0），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-

1

2

，知

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，由此能求出动点E的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），将y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2-1

)，由此能求出点P纵坐标的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（-

2

，0），B（

2

，0），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-

1

2

，
∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，
整理，得

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，
∴动点E的轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1，x≠±

2

．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
将y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1，并整理，得
（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=8k²+8＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
设MN的中点为Q，则xQ=

2k2

2k2+1

，yQ=k(xQ-1)=-

k

2k2+1

，
∴Q（

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2-1

)，
令x=0，得y_P=

k

2k2+1

=

1

2k+ 1 k

，
当k＞0时，∵2k+

1

k

≥2

2

，∴0＜yP≤

1

2 2

=

2

4

；
当k＜0时，因为2k+

1

k

≤-2

2

，所以0＞y_P≥-

1

2 2

=-

2

4

．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[-

2

4

，

2

4

]．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．