精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2012•朝阳区二模)已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+m(m∈R)
的图象过点M(
π
12
,0).
(1)求m的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosB,求f(A)的取值范围.
分析:(1)根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式,将函数y=f(x)化简,得f(x)=sin(2x-
π
6
)-
1
2
+m,再将M点坐标代入,可得m=
1
2

(2)利用正弦定理,将ccosB+bcosC=2acosB化简整理,得cosB=
1
2
,所以B=
π
3
.由此得到函数f(A)=sin(2A-
π
6
),其中A∈(0,
3
),再结合正弦函数的图象与性质,可得f(A)的取值范围.
解答:解:(1)∵sinxcosx=
1
2
sin2x,cos2x=
1
2
(1+cos2x)
f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+m
=
3
2
sin2x-
1
2
(1+cos2x)+m
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-
1
2
+m=sin(2x-
π
6
)-
1
2
+m
∵函数y=fx)图象过点M(
π
12
,0),
∴sin(2•
π
12
-
π
6
)-
1
2
+m=0,解之得m=
1
2

(2)∵ccosB+bcosC=2acosB,
∴结合正弦定理,得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB
∵B+C=π-A,得sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA
∴sinA=2sinAcosB
∵△ABC中,sinA>0,∴cosB=
1
2
,得B=
π
3

由(1),得f(x)=sin(2x-
π
6
),
所以f(A)=sin(2A-
π
6
),其中A∈(0,
3

∵-
π
6
<2A-
π
6
6

∴sin(2A-
π
6
)>sin(-
π
6
)=-
1
2
,sin(2A-
π
6
)≤sin
π
2
=1
因此f(A)的取值范围是(-
1
2
,1]
点评:本题给出三角函数的表达式,在图象经过已知点的情况下求参数m的值,在△ABC中研究f(A)的取值范围,着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•朝阳区二模)设函数f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)

(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•朝阳区二模)设集合U={0,1,2,3,4,5},A={1,2},B={x∈Z|x2-5x+4<0},则?U(A∪B)=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•朝阳区二模)若实数x,y满足
x-y+1≤0
x≤0
则x2+y2的最小值是
1
2
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•朝阳区二模)已知函数f(x)=
2,x>m
x2+4x+2,x≤m
的图象与直线y=x恰有三个公共点,则实数m的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案