Question

设函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）2；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题分析：(1)利用导函数判断函数的单调性，并利用单调性求函数最值；（2）利用分离参数法，将函数零点问题转化为方程根的问题，令利用导数求函数值域，进而求出的取值范围；

（3）由条件中的任意性，可知,利用导函数可得, 分离参数既有.

试题解析：（1）【解析】

当时，令，解得；令,解得。

所以在上单调递减，在单调递增。

即 . 4分

【解析】
由，可得，要使有零点，则令,则。

令，则。

若,则；若，则.

即函数在单调递增，值域为,在单调递减，值域为。

大致画出函数的图象：

由图可知，当或时，只有一个零点；当时，有2个零点；

当时，没有零点。 10分

由（1）可知.

当对于任意恒成立，即，

所以有,即.

故 15分

考点：（1）导数与最值；（2）含参量函数零点讨论（一般分离参数法）；（3）含参问题求解