Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）若h（x）=f（x）+b（b为常数），试讨论函数h（x）的奇偶性．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，建立方程，可求a的值；
（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性．
解答：解：（1）由题意，∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，
∴f（0）=g（0），即|a|=1，又a＞0，故a=1．（4分）
（2）h（x）=f（x）+b=|x-1|+b|x+1|，其定义域为R，（8分）
∴h（-x）=|x+1|+b|x-1|．
若h（x）为偶函数，即h（x）=h（-x），则有b=1，此时h（2）=4，h（-2）=4，
故h（2）≠-h（-2），即h（x）不为奇函数；
若h（x）为奇函数，即h（x）=-h（-x），则b=-1，此时h（2）=2，h（-2）=-2，
故h（2）≠h（-2），即h（x）不为偶函数；
综上，当且仅当b=1时，函数h（x）为偶函数，且不为奇函数，（10分）
当且仅当b=-1时，函数h（x）为奇函数，且不为偶函数，（12分）
当b≠±1时，函数h（x）既非奇函数又非偶函数．（14分）
点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性，正确运用函数奇偶性的定义是关键．