[题目]已知椭圆C的方程为 + =1.双曲线 ﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°.且双曲线的焦距为4 ．(1)求椭圆C的方程,(2)设F1 . F2分别为椭圆C的左.右焦点.过F2作直线l交于椭圆于A.B两点.线段AB的中点为E.记直线F1E的斜率为k.求k的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），双曲线 ﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1 ， F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围．

【答案】
（1）解：由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，则 =tan30°= ，即a2=3b2，

由2c=4 ．c=2 ，则a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2，

∴椭圆的标准方程：；

（2）解：由（1）可知：F2（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣ ，x1+x2= ，

则E（，﹣ ），

由F1（﹣2，0），则直线F1E的斜率k= =﹣ ，

①当t=0时，k=0，

②当t≠0时，丨k丨= = ≤ ，

即丨k丨∈（0， ]，

∴k的取值范围[﹣ ， ]．

【解析】（1）利用已知条件建立a和b的方程组，解方程组，可得椭圆的方程；（2）设直线AB的方程，A，B的坐标，联立方程组消去x，利用韦达定理可得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式可得k的取值范围．

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试题解析：（Ⅰ）由于，，则

∴，则，即为常数

又，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列

从而，即.

（Ⅱ）由即，得，

又，从而

故

当为奇数时，，单调递减，；

当为偶数时，，单调递增，

综上的最大项为，最小项为.

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