Question

已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEGF所截得的，其中AB=4，BC=2，CG=3，BE=1，
（1）求：BF与平面BCGE所成角的正切值
（2）求：截面AEGF与平面ABCD所成的二面角的余弦值
（3）在线段CG上是否存在一点M，使得M在平面AEGF上的射影恰为△EGF的重心．

Answer 1

分析：（1）可以建立空间坐标系，设出F点的坐标，根据截面AEFG为平行四边形，

AF

=

EG

，得到F点的坐标；利用

BF

与平面BCGE的法向量夹角求解．
（2）分别求出平面AEGF及平面FABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．
（3）设M在平面AEGF的射影为H，

GM

AG

=

GH

GC

∴GM=

29

9

＞3．故不存在．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），G（0，4，3）设F（0，0，z）．
∵AEGF为平行四边形，
∴

AF

=

EG

，
即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴

EF

=（-2，-4，2）．于是|

BF

|=2

6

，即BF的长为2

6

.

BF

=（-2，-4，2），
易知平面BCGE的一个法向量为

m

=（0，1，0），|cos＜

BF，

m

＞|=

4

2 5 ×1

=

2 5

5

=sinθ
cosθ=

5

5

∴BF与平面BCGE所成角的正切值为tanθ=2．
 （2）设

n1

为平面AEGF的法向量且

n1

=（x，y，z）
由

n1 • AE =0 n1 • AF =0

得

0×x+4×y+z=0 -2×x+0×y+2z=0

即

4y+z=0 -2x+2z=0

令z=1∴

x=1 y=- 1 4

，

n1

=(1，-

1

4

，1)，易知平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1）
设截面AEGF与平面ABCD所成的二面角为α，则|cosα|=|

n1 • n2

| n1|| n2|

|=

4

33

（2）截面AEGF与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值

4

33

．
（3）不存在，在△AGC中，设M在平面AEGF的射影为H，
∵

GM

AG

=

GH

GC

∴GM=

29

9

＞3．故不存在．

点评：本题主要考查线线角，二面角空间角的计算．利用空间向量知识方法求解，思路稳定，使问题论证与计算变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．