Question

对于函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+

π

3

，有如下四个命题：
①f（x）-g（x）的最大值为

2

；
②f[h（x）]在区间[-

π

2

，0]上是增函数；
③g[f（x）]是最小正周期为2π的周期函数；
④将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得g（x）的图象．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：命题①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），由之判断即可；
命题②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），根据正弦函数的单调性判断其在区间[-

π

2

，0]上的单调性即可；
命题③，代入验证2π是否是其周期；
命题④，由相关的诱导公式进行判断即可．

解答：解：命题①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），当sin（x+

π

4

）=1时，函数取到最大值

2

，故正确；
命题②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），x∈[-

π

2

，0]时，x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

3

]，故f[h（x）]=sin（x+

π

3

）在x∈[-

π

2

，0]时是增函数，故正确；
命题③，由于g[f（x）]=cos（sinx），因为cos（sin（x+π））=cos（sinx）对x∈R都成立，故其是周期为π的周期函数，故不正确；
命题④，因为sin（x-

π

2

）=-cosx≠cosx，故将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位不能得到g（x）的图象，故不正确．
故答案为   ①②

点评：本题考点较多，全面涉及到了三角函数的性质，考查了三角函数的单调性、周期性、以及图象的平移规则，重点检验答题者对知识掌握理解的广度．