Question

已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的x∈[0，

π

2

]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]．过点M（

π-1

2

，0）作函数F（x）图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由导函数大于0求其增区间，导函数小于0求其减区间；
（2）构造辅助函数g（x）=f（x）-kx，把问题转化为求x∈[0，

π

2

]时g（x）_min≥0，然后对k的值进行分类讨论，求k在不同取值范围内时的g（x）的最小值，由最小值大于等于0得到k的取值范围；
（3）把f（x）的解析式代入F（x）=f（x）+e^xcosx，求出函数F（x）的导函数，设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，由点斜式写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于

π

2

对称成对出现，最后由给出的自变量的范围得到数列{x_n}的所有项之和S的值．

解答：解：（1）由于f（x）=e^xsinx．所以
f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)．
当x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)时，f′（x）＞0；
当x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)（k∈Z），
单调递减区间为(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)（k∈Z）．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx总成立，只需在x∈[0，

π

2

]时g（x）_min≥0．
对g（x）求导得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h′（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）
所以h（x）在在[0，

π

2

]上为增函数，所以h(x)∈[1，e

π

2

]．
对k分类讨论：
①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，

π

2

]上为增函数，所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②当1＜k＜e

π

2

时，g′（x）=0在上有实根x₀，因为h（x）在(0，

π

2

)上为增函数，
所以当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合题意；
③当k≥e

π

2

时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在(0，

π

2

)上为减函数，
则g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综合①②③可得，所求的实数k的取值范围是（-∞，1]．
（3）因为F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，
设切点坐标为(x0，ex0(sinx0+cosx0))，则斜率为f′(x0)=2ex0cosx0，
切线方程为y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0)，
将M(

π-1

2

，0)的坐标代入切线方程，得
-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(

π-1

2

-x0)
-tanx0-1=-2(x0-

π-1

2

)，即tanx0=2(x0-

π

2

)，
令y₁=tanx，y2=2(x-

π

2

)，则这两个函数的图象均关于点(

π

2

，0)对称，
它们交点的横坐标也关于

π

2

对称成对出现，
方程tanx=2(x-

π

2

)x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]的根，
即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{x_n}的项也关于

π

2

对称成对出现，
在[-

2011π

2

，

2013π

2

]内共构成1006对，每对的和为π，
因此数列{x_n}的所有项的和S=1006π．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用对称性求方程根的和的问题，综合考查了学生的计算能力，是具有较高难度的题目．