Question

已知函数f（x）=e^-x（x²+x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f′（x）＜0，在定义域内解出x，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函数的单调区间，继而得到函数f（x）在[-1，1]上的最值．

解答：解：由于函数f（x）=e^-x（x²+x+1），则f′（x）=e^-x（-x²+x），
令f′（x）＜0，
即-x²+x＜0，解得x＜0或x＞1，
则函数f（x）的单调递减区间为：（-∞，0），（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的单调递减区间为：（-∞，0），（1，+∞），
则f（x）的单调递增区间为：（0，1），
又由f（-1）=e，f（1）=

3

e

，f（0）=1
故函数f（x）在[-1，1]上的最小值为1，最大值为e．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．