Question

已知离心率为的椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，设椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点为P（x'，y'），，则椭圆C₁的标准方程为    ；抛物线C₂的标准方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意设出椭圆的方程，把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标，|PF₁|的长，求出m的值，求写出椭圆的方程、抛物线C₂的标准方程，得到结果．
解答：解：因为c=m，e=，
∴a=2m，b²=3m²，设椭圆方程为，
由椭圆的方程与y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x₁=，
代入抛物线方程得y=m，P（ ，m）
|PF₂|=x₁+m=，
|PF₁|=2a-==，
∴m=1，
当m=1时，椭圆C₁的标准方程为 ；抛物线C₂的标准方程为 y²=4x．
故答案为：；y²=4x．
点评：本题考查解析几何与数列的综合题目，题目中所应用的数列的解题思想，用到曲线与曲线之间的交点问题，本题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注意运算．