Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，-2）．
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求向量

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

2

，且

a

+

b

与

a

-2

b

垂直，求

a

与

b

的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设

c

=(x，y)，利用向量共线定理和模的计算公式及

c

∥

a

和|

c|

=2

5

可得：

y-(-2)x=0 x2+y2 =2 5

，解得即可；
（2））利用(

a

+

b

)⊥(

a

-2

b

)?(

a

+

b

)•(

a

-2

b

)=0，及向量数量积即可得出．

解答：解：（1）设

c

=(x，y)，由

c

∥

a

和|

c|

=2

5

可得：

y-(-2)x=0 x2+y2 =2 5

，解得

x=-2 y=4

或

x=2 y=-4

∴

c

=(-2，4)，或

c

=(2，-4)．
（2）∵(

a

+

b

)⊥(

a

-2

b

)，
∴(

a

+

b

)•(

a

-2

b

)=0，即

a

2-

a

•

b

-2

b

2=0，
∴|

a

|2-

a

•

b

-2|

b

|2=0，
∴5-

a

•

b

-2=0，∴

a

•

b

=3，
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

3 5

5

．

点评：熟练掌握向量共线定理和模的计算公式、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．