Question

（本小题满分16分）
已知直线：与直线：．
（1）当实数变化时，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
（2）若直线通过直线的定点，求点所在曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，求此直线的方程．

Answer 1

（1）定点的坐标为．（2）．（3）的方程为．

本试题主要考查了直线的位置关系的运用，以及求解轨迹方程和直线方程的综合运用。
（1）因为直线：与直线：．
，那么当实数变化时，直线表示为过两条直线交点的直线系方程可知其过定点，并求出这个定点的坐标；
（2）因为直线通过直线的定点，则可知点所在曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，运用向量的共线的知识得到结论。
（1）的方程化为，…………………………2分
由题意，解得所以定点的坐标为．………………4分
（2）由过定点，得，化简得，
所以点所在曲线的方程为．……………………………………8分
（3）因为，所以，且，
所以，所以，所以，所以．…………10分
设，则，
由，得，又由
由①②③④解之得所以，……………………………………………14分
所以的方程为．……………………………………………………16分