Question

14．函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）内是增函数．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义作出判断；
（2）直接用定义证明函数的单调性．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=-x+$\frac{2}{-x}$=-（x+$\frac{2}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈[$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
因为$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0且x₁x₂＞2，
因此，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）内是增函数．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和单调性的证明，考查了奇偶性的定义和单调性的定义，属于基础题．