Question

（本小题满分12分）设函数.0

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）单调递增区间为（a,3a）,单调递减区间为（－，a）和（3a，+）,极小值=

极小值=b.（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若则函数在这个区间内为单调递增，若则函数在这个区间内为

单调递减，若的左侧右侧，则是极大值，若的左侧右侧，则是极小值，求解即可；（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.根据不等式恒成立问题，则有，且，再根据题意确定上是减函数.求出其最大值和最小值，构造不等式组

试题解析：（Ⅰ） （1分）

令得的单调递增区间为（a,3a）

令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） （4分）

∴当x=a时，极小值=

当x=3a时，极小值=b. （6分）

（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）

∵0<a<1，

∴a+1>2a.

∴上是减函数. （9分）

∴

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

考点：1、函数的单调性与导数；2、函数的极值；3、不等式恒成立问题.