Question

（本小题满分14分）

如图1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图2示，已知分别为的中点．

图1                                图2

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？

 

Answer 1

【答案】

（1）先由中位线定理证，再根据线面平行的判定定理证明即可；

（2）先证，再证，进而证明平面，从而结论可证；

（3）时，平面与平面所成的锐二面角为

【解析】

试题分析：（1）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，

∴为中点，                                                      ……1分

在中，为中点，故                                ……3分

∵平面，平面，平面；              ……4分

（其它证法，请参照给分）

（2）依题意知 且

∴平面

∵平面，∴，                                    ……5分

∵为中点，∴ 

结合，知四边形是平行四边形

∴，                                              ……7分

而，∴ ∴，即  ……8分

又，∴平面，

∵平面，∴.                                       ……9分

（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系

设，则

易知平面的一个法向量为，                           ……10分

设平面的一个法向量为，则

故，即

令，则，故                                ……11分

∴，

依题意，，，                                    ……13分

即时，平面与平面所成的锐二面角为．           ……14分

【解法二：过点A作交DE于M点，连结PM，则

∴为二面角A-DE-F的平面角，                                   ……11分

由=60⁰，AP=BF=2得AM，                      ……12分

又得，解得，

即时，平面与平面所成的锐二面角为．         ……14分】

考点：本小题主要考查线面平行、线面垂直的证明和二面角的求解.

点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解决此类问题时，要紧扣相应的判定定理和性质定理，要将定理中要求的条件一一列举出来，缺一不可，用空间向量解决立体几何问题时，要仔细运算，适当转化.