Question

1．已知圆M：x²+y²-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2$\sqrt{2}$，则圆M与圆N：（x-1）²+（y-1）²=1的位置关系是（　　）

• A． 内切
• B． 相交
• C． 外切
• D． 相离

Answer 1

分析 根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．

解答 解：圆的标准方程为M：x²+（y-a）²=a² （a＞0），
则圆心为（0，a），半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
∵圆M：x²+y²-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2$\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，即a²=4，a=2，
则圆心为M（0，2），半径R=2，
圆N：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心为N（1，1），半径r=1，
则MN=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵R+r=3，R-r=1，
∴R-r＜MN＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B

点评 本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．