Question

一艘轮船在以每小时16公里速度沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的初始范围是以台风中心为圆心半径长为7km的圆形区域，并且圆形区域的半径正以以每小时10公里的速度扩大，且圆形区域最大活动半径为47公里．已知港口位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？假设轮船在航行过程中，不会受到台风的影响，则轮船离此时圆形区域边缘最近距离是多少？

Answer 1

分析：本题利用解析法求解．我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，将受台风影响的圆形区域表示成所对应的圆⊙的内部，那么是否会受到台风的影响的问题转化为圆⊙与直线l有公共点问题解决即可；另外，欲求轮船离此时圆形区域边缘最近距离，转化为轮船离圆形区域边缘的距离即可．

解答：解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系（1分）
设台风活动半径r=7+10t（0≤t≤4），其中t为轮船移动时间．单位：小时，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆⊙的方程为x²+y²=（7+10t）²①（3分）
轮船航线所在直线l的方程为

x

80

+

y

60

=1，即3x+4y-240=0②（5分）
（i）如果圆⊙与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果圆⊙与直线l无公共点，
则轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心O（0，0）到直线l的距离d=|OH|

|3×0+4×0-240|

32+42

=48，（7分）
由题意知圆形区域最大半径为47公里”∵48＞47，所以直线l与同心圆形区域始终无公共点．
这说明轮船将不受台风影响，不需要改变航向．（8分）
（ii）如图，设轮船航行起始点为A，轮船离原点最近点为H
从A到H移动距离|AH|=

|OA|2-|AH|2

=

802-482

=64（公里）（9分）
轮船移动时间t=

64

16

=4（小时），（10分）
此时受台风影响的圆形区域半径r=7+10×4=47（公里），恰好为圆形区域最大活动半径（12分）
由平面几何知识可知，此时最近距轮船离圆形区域边缘为d-r=48-47=1（公里）
故轮船离圆形区域边缘最近距离为1公里．（14分）

点评：本题主要考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系等知识的实际应用，考查解析几何的基本思想方法和综合应用能力，创新意识．