Question

不等式|x-2|+|x|≥a-

3

a

对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，-1]∪（0，3]

．

Answer 1

分析：利用绝对值的意义可得|x-2|+|x|的最小值为2，故有 2 ≥a-

3

a

，即

a2-2a-3

a

≤0，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：不等式|x-2|+|x|≥a-

3

a

对于任意实数x恒成立，由于|x-2|+|x|表示数轴上的x对应点到2和0对应点的距离之和，它的最小值为2，
故有 2 ≥a-

3

a

，即

a2-2a-3

a

≤0．
解得 0＜a≤3 或 a≤-1，故实数a的取值范围是 （-∞，-1]∪（0，3]，
故答案为 （-∞，-1]∪（0，3]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．