Question

【题目】若椭圆的焦点在x轴上，离心率为，依次连接的四个顶点所得四边形的面积为40.

（1）试求的标准方程；

（2）若曲线M上任意一点到的右焦点的距离与它到直线的距离相等，直线经过的下顶点和右顶点，，直线与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设的下顶点是B，上顶点是D，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根据条件列出关于的等式构建方程组求解出，即可求解出椭圆的标准方程；

(2)根据抛物线的定义可求的轨迹方程，利用直线联立的轨迹方程得到韦达定理形式，再根据三角形的面积比求解出直线的方程.

（1）由题意可知：解得，∴所求的标准方程是；

（2）由（1）可知的右焦点是，下顶点，上顶点，右顶点是又由抛物线定义可知：曲线M是一条抛物线，M的焦点是

∴M的方程是，又，

∴，∴，设直线的方程为

则联立方程组：，消去得：，

且，所以，所以，

所以由韦达定理得：，又由可得，即：

∴联立方程组：，解得：，或

又∵点P在第一象限内，点Q在第四象限内，∴不合，舍去

∴所求直线的方程为，即：.