Question

（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

Answer 1

（1）见解析   （2）    （3）

（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． 
∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△PCA，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．