如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体． (1) 若点O为底面ABCD的中心. 求证:直线D1O∥平面A1BC1, (2)．求证:平面A1BC1⊥平面BD1D．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁—A₁BC₁后得到的几何体．

（1）若点O为底面ABCD的中心，

求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；

（2）_．求证：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

（1）将其补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设B₁D₁和A₁C₁交于点O₁，连接O₁B，依题意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四边形D₁OB O₁为平行四边形， ……………………4分

则D₁O∥O₁B，因为BO₁平面BA₁C₁，D₁O平面BA₁C₁，

所以有直线D₁O∥平面BA₁C₁。 ……………………7分

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

则DD₁⊥A₁C₁， ……………………9分

在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁， …………12分

又∵DD₁∩B₁D₁= D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，

∵A₁C₁平面A₁BC₁，则平面A₁BC₁⊥平面BD₁D． …………14分

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