【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性
(2)若函数有一个大于的零点,求实数的取值范围;
(3)若,且,求证:.
【答案】(1)答案见解析.(2).(3)证明见解析
【解析】
(1)求导后,分别在和两种情况下,根据导函数的正负得到原函数的单调性;
(2)当和时,根据函数的单调性和,可知不满足题意;当时,得到函数单调性;由,利用导数证得,根据零点存在定理可知有一个大于的零点,满足题意,由此得到结果;
(3)由(2)可知,将所证不等式转化为,令,利用导数可说明,由此证得结论.
(1)由题意知:的定义域为,,
①当时,恒成立,在上单调递增;
②当时,令,解得:,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减;
综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知:当时,且单调递增,不存在大于的零点.
当,即时,在上单调递减,又,
在上恒成立,无零点,不符合题意.
当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
,,
令,设,则,
,在上单调递减,
,在上单调递减,
,即,
在上无零点,在上有唯一零点,即有一个大于的零点;
综上所述:满足条件的实数的取值范围是.
(3)证明:由(2)得:且,
由知:要证,即证,
即证,
令,则,
在上单调递增,,
,由此证得:.
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【题目】已知函数f(x)= 为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(3)解关于x的不等式f(1+x2)+f(-x2+2x-4)>0.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】已知函数的图象与直线y=m分别交于AB两点,则( )
A.f(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+ln2
B.m使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线f(x)在A处的切线
C.函数f(x)-g(x)+m不存在零点
D.m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线f(x)的切线
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【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则
②若,,,则
③若,,则
④若,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是矩形,VD⊥平面ABCD,过AD的平面分别与VB,VC交于点M,N.
(1) 求证:BC⊥平面VCD;
(2) 求证:AD∥MN.
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