Question

已知：函数f(x)=

x2+(t-1)x-t

(t+1)x

-lnx(t＞-1，x≥1)．
（1）若f（x）≥0恒成立，求参数t的取值范围；
（2）证明：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)-

n+2

2(n+1)

(n≥1)．

Answer 1

分析：（1）求导函数，①当t＞1时，由f′（x）＜0，可得f（x）在（1，t）上递减，f（x）≥0不恒成立；②当-1＜t≤1时，f（x）在[1，+∞）上递增，f（x）≥0恒成立，由此可求参数t的取值范围；
（2）由（1）知，t=1时有f（x）≥0，即

1

2

(x-

1

x

)≥lnx(x≥1)，故当x＞1时，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx(x≥1)，令x=1+

1

k

，可得ln(k+1)-lnk＜

1

2

[(1+

1

k

)-

k

k+1

]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)（k=1，2…，n），将上述式子相加，即可证得结论．

解答：（1）解：求导函数，可得f′(x)=

(x-1)(x-t)

(t+1)x2

①当t＞1时，由f′（x）＜0，可得1＜x＜t，∴f（x）在（1，t）上递减，∴f（x）≤f（1）=0
∴f（x）≥0不恒成立；
②当-1＜t≤1时，由f′（x）≥0，可得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上递增，∴f（x）≥f（1）=0
∴f（x）≥0恒成立；
综上所述，参数t的取值范围为（-1，1]；
（2）证明：由（1）知，t=1时有f（x）≥0，即

1

2

(x-

1

x

)≥lnx(x≥1)
∴当x＞1时，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx(x≥1)
令x=1+

1

k

，∴ln(k+1)-lnk＜

1

2

[(1+

1

k

)-

k

k+1

]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)（k=1，2…，n）
将上述式子相加：ln(n+1)＜

1

2

[1+

1

n+1

+2(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)]
=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-

n

2(n+1)

∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)-

n+2

2(n+1)

(n≥1)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确放缩是解题的关键．