Question

11．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆．设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设S_n，T_n分别为n年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量．
（1）求S_n，T_n，并求n年里投入的所有新公交车的总数F_n；
（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：数列{a_n}为等比数列，首项为120，公比为$\frac{3}{2}$；数列{b_n}为等差数列，首项为300，公差为m．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）F₈=$240[（\frac{3}{2}）^{8}-1]$+300×8+$\frac{8×7}{2}$m≥10000，解出即可．

解答 解：（1）由题意可得：数列{a_n}为等比数列，首项为120，公比为$\frac{3}{2}$；数列{b_n}为等差数列，首项为300，公差为m．
∴S_n=$\frac{120[（\frac{3}{2}）^{n}-1]}{\frac{3}{2}-1}$=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$，T_n=300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$，
∴F_n=S_n+T_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$+300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$．
（2）F₈=$240[（\frac{3}{2}）^{8}-1]$+300×8+$\frac{8×7}{2}$m≥10000，
解得m≥59.65，
因此m的最小值为60．
答：（1）S_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$，T_n=300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$，F_n=S_n+T_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$+300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$．
（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，m的最小值为60．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．