Question

设f₁（x）=，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=（n∈N^*），试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f₁（x）=，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=（n∈N^*）．可得f₁（0）=2，a₁==，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=，从而a_n+1=-a_n．所以数列{a_n}是首项为，公比为-的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用错误相减法求得T_2n=（1-），从而9T_2n=1-，又Q_n=1-，故当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，所以9T_2n＜Q _n；当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，所以9T_2n＜Q_n；当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，从而得到结论．
解答：解：（1）∵f₁（0）=2，a₁==，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=，
∴a_n+1====-=-a_n．
∴数列{a_n}是首项为，公比为-的等比数列，
∴a_n=（）ⁿ-¹．
（2）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-₁+2na_2n，
∴T_2n=（-a₁）+（-）2a₂+（-）3a₃+…+（-）（2n-1）a_2n-1+2na_2n
=a₂+2a₃+…+（2n-1）a_2n-na_2n．
两式相减，得T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n．
∴T_2n=+n×（-）²ⁿ-¹=-（-）²ⁿ+（-）²ⁿ-¹．
T_2n=-（-）²ⁿ+（-）²ⁿ-¹=（1-）．
∴9T_2n=1-．
又Q_n=1-，
当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q _n；
当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，∴9T_2n＜Q_n；
综上得：9T_2n＜Q _n．
点评：本题以函数为载体，考查数列的通项，考查等比数列的定义，考查错位相减法求数列的和，考查分类讨论的数学思想，综合性强．