Question

设f₁（x）=sinx，定义f_n+1（x）=为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=

2

2

，则tanA的值是

 

．

Answer 1

分析：根据导数公式直接进行求导，得到函数f_n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，利用三角函数的公式进行求解即可即可得到结论．

解答：解：∵f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f′₁（x）=cosx，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx，
f₄（x）=f'₃（x）=-cosx，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx，
f₆（x）=f′₅（x）=cosx，
∴f_n+1（x）=f′_n（x），具备周期性，周期性为4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
∵f1(A)+f2(A)+…+f2014(A)=

2

2

，
∴f₁（A）+f₂（A）=

2

2

，
即sinA+cosA=

2

2

，
∴

2

sin?(A+

π

4

)=

2

2

，
即sin（A+

π

4

）=

1

2

，
∵A是△ABC的内角，
∴A+

π

4

=

5π

6

，
解得A=

5π

6

-

π

4

=

7

12

π．
∴tanA=tan?(

5π

6

-

π

4

)=

tan? 5π 6 -tan? π 4

1+tan? 5π 6 tan? π 4

=

- 3 3 -1

1- 3 3

=-(2+

3

)．
故答案为：-(2+

3

)．

点评：本题主要考查导数的计算，利用条件得到函数具备周期性是解决本题的关键，考查三角函数的化简和求值，涉及的知识点较多，综合性较强，难度交大．