Question

（2011•武汉模拟）设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，则满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（　　）

A．2n

B．2（2n-1）

C．2n²

D．2ⁿ

Answer 1

分析：根据已知条件和递推关系，先求出n=1满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；n=2满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数；然后总结归纳其中的规律，

解答：解：显然，y=f₁（x）与y=x的图象有2=2¹个交点．
接下来考虑f₂（x），在x属于[0，

1

2

]时，f₁（x）从0单调上升到1，于是f₂（x）从0上升到1再下降到0；
当x属于[

1

2

，1]时，又是这样一个周期．你近似画出它的图象（只要增减性画对）就知道它会上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，这样和y=x有4=2²个交点．
接下来，你再看f₃（x），就会发现周期又缩短了一半．它有4次上升下降，与直线y=x有8=2³个交点．
归纳可以得出结论：f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是：2ⁿ．
故选D．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题